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一道解析几何调研题的解题研究

来源:发布时间:2016-06-02 18:36:00编辑:教科室

                                                刘永岩  江苏省海头高级中学  222111   发表于《数学通讯》20131,2期  

在解题教学中,教师要善于引导学生分析问题,破译问题条件和结论的内涵与外延,寻求条件与结论的关联与差异.进而认清问题的本质,建构合理的解题思路.本文拟针对高三复习教学时遇到的一道解析几何综合题,谈点自己的解题思路,与同仁探讨.

问题 2012年苏北四市高三第二次调研)如图,已知椭圆的方程为,是四条直线所围成的矩形的两个顶点.

(1)  设是椭圆上任意一点,,求证:动点在定圆上运动,并求出定圆的方程;

(2)  若是椭圆上两个动点,且直线的斜率之积等于直线的斜率之积,试探求的面积是否为定值,并说明理由.

1.对问题(1)的分析与探求

分析 第一问较为简单,考查了求轨迹方程的基本方法,可借助于代入法或参数法求出动点的轨迹方程.

解法1由题意知,设,则,由,所以,即,所以故点在定圆

解法2 由题意知,设,由

所以,即,所以故点在定圆

2.对问题(2)的分析与探求

分析 由题意很容易求出直线的斜率之积,而求的面积关键是如何利用仅有的条件求面积,对问题(2)可以从以下几个方面获得解题思路

    思路1直接设两点坐标,利用写出直线的方程,受思维定势影响,习惯以为底边以点到直线的距离为底边上的高来计算的面积.思路自然流畅,方法朴实无华.但运算要求较高,许多考生陷人繁难的计算中难以脱身,未能使问题获解.

解法1 ,则又直线的斜率之积等于直线的斜率之积,所以,即,平方得

,又因为直线的方程为,即

,所以到直线的距离为

所以

         

思路2 仍然,以追求直线方程简单为目标,求直线的方程与求直线的方程相比,求解过程简单,然后灵活选择以为底边,以点到直线的距离为底边上的高来计算的面积,显然运算量相对减小.

解法2  ,直线的方程为,所以所以到直线的距离为,所以

下同解法1

思路 ,从三角形面积公式入手,的长度可以直接求出,然后借助于向量求夹角,充分显示了向量特有的魅力,计算量也相对较小.

解法3,则,即

因为

所以,所以

因为

               

,即

所以,所以

思路4 由于受到的影响,等式建立起了两条直线斜率的关系,故可两直线方程直接写出,求出,然后求面积,多数学生设出直线方程,但求解过程中没有能灵活处理表达式.

解法 4  设直线的方程为,由题意知,则直线的方程为

     同理可得

所以到直线的距离

所以

思路5 从定值入手,由特殊到一般,先通过特殊情况直线的斜率是不存在时进行求解,然后研究直线的斜率存在时,设直线方程为斜截式,与椭圆方程联立组成方程组,然后利用根与系关系、弦长公式和点到直线距离公式进行求解,由于涉及字母多运算量较大解答繁琐.

解法5,则,即

当直线的斜率不存在时,设直线的方程为

,故

,所以

所以

当直线的斜率存在时,设直线的方程为

,所以

所以

到直线的距离为,所以

思路6 为了减少点的坐标参数的引入,从椭圆的参数方程入手,运算量小达到了以简驭繁的效果,此法不错,但并非通解通法,也非命题人的用意所在.

解法6,则,即

直线的方程为,所以所以到直线的距离为

所以

二、在椭圆中的进一步拓广

结论1 已知椭圆的方程为,是椭圆上两个动点,且直线的斜率之积等于直线的斜率之积(即,

证明 略

结论已知椭圆的方程为,是椭圆上两个动点,则面积的最大值为

证明,则直线的方程为

所以到直线的距离为

所以

,所以

所以 ,当且仅当时等号成立,所以,所以面积的最大值为

注:也可借助于解法6证明

 

解题反思

本题全面贯彻以能力立意的命题原则,突出重要内容和基本方法,不过度追求解题技巧,宽入口,解法发散.该题关注了对学生自主、灵活地应用相关知识分析、解决问题的思维过程的考查,又能从学科整体的高度和思维价值的高度深化对基础知识的考查,该题设计了可以叫学生多角度的思考,探求问题实质,寻找解决方案,有利于深化对问题本质的认识,完善和发展学生的认知结构;有利于数学思想方法的强化,培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.

通过这一道解析几何题的解答探究与拓广,使我认识到在教学中切莫就题论题,要善于对一些试题进行深入的挖掘,要思其源、求其本,抓到机会,穷追到底.解后思索也是提高自身解题水平和专业水平的一种方法与手段,更是对自身的一种补充和完善,可以拓宽自身的思路.

 

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