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十种策略求解立体几何的最值问题

来源:发布时间:2016-06-02 18:53:00编辑:教科室

                        

                                          江苏省赣榆县海头高级中学  222124  王怀学       2015.08《中学数学教学研究》

最值问题是高中数学的热点问题,也是高考命题的热点题型。立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、面积、体积等最值向题常常在试题中出现。这一点从2011年全国高考试题再次得到应正。求解立几最值问题既可以依据变量间的关系,从数的角度研究,也可以运动变化观点,对空间点线面的位置变化,从形的角度探索。下面通过例题谈立体几何中最值问题的处理策略。

1.利用函数最值求解

例1 (2010上海文数)20.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).

(1)当圆柱底面半径学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!取何值时,学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);

(2)若要制作一个如图放置的,底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).

解析:(1) 设圆柱形灯笼的母线长为,则

, 以当时,S取得最大值约为1.51平方米;

2 )当时,,作三视图略.

点评:本题以生活中的灯笼制作为背景,在新的背景下考查了圆柱体的表面积计算,体现了高考命题应该在“知识交汇处” 命题原则。此类问题是将相关量构造出一个函数模型,借助函数最值的一般求解策略获得最值,如本题函数是一个二次函数模型,求最值可配方、可借助图象求解。

变式训练:(1)(2009重庆卷文)在正四棱柱高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。中,顶点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。到对角线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。和到平面高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的距离分别为高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为        

解析:设底面边长为1,侧棱长为,过,,,由三角形面积关系得.设在正四棱柱中,由于,所以平面,于是,所以平面,的长为点到平面的距离,在,又由三角形面积关系得.。于是当,所以

2)(2003年全国卷)已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是           

解析:设内接圆柱底面半径为

 时,

2.利用导数求最值

2 2011江西文18)如图,在星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!AC于 点D,现将星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

1)当棱锥星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的体积最大时,求PA的长;

2)若点PAB的中点,E星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

解析:(1)设星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,则星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

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单调递增

极大值

单调递减

由上表易知:当星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!时,有星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!取最大值。

2)证明:作星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!得中点F,连接EFFP,由已知得:星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

   星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!为等腰直角三角形,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!.

 点评:从近年来全国高考命题形势看,在立体几何中渗透变量思想,而随着导数学习的深入,利用导数处理函数的最值问题已经成为重要手段,那么在立体几何中利用导数处理最值问题是一种很好的尝试,也成为今年高考的一个新亮点。

变式训练:(2010全国卷2理数)(9)已知正四棱锥学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!中,学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为       

  解析:底面边长为学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!a,则高所以体积,设,则,当y取最值时,,解得a=0a=4时,体积最大,此时.答案:2

2)过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PAPBPC,它们间两两夹角相等,求三棱锥PABC体积的最大值      

解析:由题知PABC为正三棱锥,作其高PO′,则O′为正△ABC的中心,球心OPO′上,

,,设

中,

,令=0,∴当V有最大值,

∴当正三棱锥的高时,体积最大

4    3.利用三角函数求最值

例3.(2011四川理15)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与圆柱的侧面积之差是     

答案:2πR2

解析:如图,设求的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α,则圆柱的侧面积,当时,S取最大值,此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为

点评:圆柱体的表面积受到母线长、底面圆周长共同作用,而底面圆周长又由底面圆的半径决定。底面圆的半径和母线都和求的半径相关,因此用球的已经半径和夹角可以将这两者联系在一起,从而转化为三角最值问题。当然此类问题,也可以用勾股定理用底面圆的半径作为唯一的变量建立侧面积的目标函数,利用不等式、导数等都是可以的。

变式训练:(1(2011四川文)15.如图,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________

答案:32π

解析:如图,设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α,圆柱侧面积,当时,S取最大值,此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为

2)点P在直径为2的球面上,过P作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这三条弦长之和为最大值是         

答案:。解析:设三边长为x,2x,y,则

4.利用不等式求最值

4.(2010海南理12)某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为ab的线段,则的最大值为                

解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图,设长方体的高宽高分别为,由题意得,所以

当且仅当时取等号。

   点评:利用不等式求最值需要获得一个一元的目标函数,也可能是多元目标函数。如本例就是一个二元目标函数,但需要一个二元定值,如等式,才能转化为不等式最值问题。

变式训练:(1)从边长为的正方形铁片的四个角各截去一个边长为的正方形(如图),再将四

27边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,当值何值时,容积V有最大值?

解析:

等号成立的条件是

2(福建省四地六校联考2011届高三第三次月考)学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!是半径为学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的球面上的四个不同点,且满足学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,用学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!分别表示△学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!、△学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!、△学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的面积,则学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的最大值是            .

  解析:设,两两垂直,补形成长方体,根据长方体对角线性质,有,又学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,当且仅当学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!取等号。学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的最大值是8.

5.利用解析几何求最值

 例5如图,已知平面平面是平面与平面的交线上的两个定点,,且,在平面上有一个动点,使得,则的面积的最大值是        

解析:作AB边上的高PH,则=3PH,则,即PB=2PA。在平面内以AB中点为坐标原点、把所在直线为X轴建立如图示直角坐标系,可得到圆的方程:PH的最大值是便是圆的半径4面积的最大值是12

点评:本题关键是对于“”的认识,由此如果能够获得,那么建立适当坐标系得到轨迹方程则是顺理成章的事情。上述解法就是抓住了这个关键条件,将空间几何转化为平面解析几何问题。

变式训练:(天津市天津一中2010届高三第四次月考理科)在棱长为2的正方体高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,正方形高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。所在平面内的动点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。到直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的距离之和为高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,有最大值       

解析:因为,所以可以在平面高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。内建立坐标系,获得动点P的轨迹方程椭圆,设=有最大值

  6.利用侧面展开图求最值

 例6.06全国卷)如图,已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为   

解析:将正三棱柱沿侧棱CC1展开,其侧面展开图如图所示,由图中路线可得 

点评:研究空间距离最短的问题一般可以通过侧面展开图,将空间几何转化为平面几何问题,再利用平面内两点间线段最短等性质和公理,获得空间中的最值。

 

变式训练:(1)边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是         

答案:D。解析:沿EF将圆柱的母线剪开,并展开侧面,则在侧面展开图中EF=5,∴最短距离为=

2)(2005年江西卷)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=BB1=2,∠ABC=90°,EF分别为AA1C1B1的中点,沿棱柱的表面从EF两点的最短路径的长度为            

    解析:将△A1B1C1A1B1折起,则EF=,侧面绕B1B1折面平面,则EF=,将△A1B1C1A1C1折起,则EF=,经比较最短路径为。答案:

 7. 分类讨论求最值

72010辽宁理数)(12)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是            

学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!解析:根据条件,四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况:(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为 ,如图,可以取最大值,可知学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,则有学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,即学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,即有学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!(2)构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示,此时a>0;综上分析可知a∈(0,学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!

点评:分类讨论思想是高中数学的重要思想之一,也是高考重点考查的内容之一。在立体几何中考查分类讨论思想在高考试题中时常出现,此类试题考查知识容量和思维容量都很大,需要综合地运用各种只适合能力。

变式训练:(2005年上海理)有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形边长分别为,用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是            

解析:有四种情况:①边长为5a的边重合,表面积为;②边长为4a的边重合,表面积为;③边长为3a的边重合,表面积为;④两个相同的直三棱柱竖直放在一起,表面积为。∴,∴

8.利用运动变化观点求最值

8 2010全国卷1文数)(12)已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为         

解析:过CD作平面PCD,使AB⊥平面ECD,ABE,设点ECD的距离EF=学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,则有,当球的直径通过ABCD的中点时,,

点评:一个三棱锥仅有两条棱长为定值,其形状是不固定的,要使得其体积最大,则两条棱最好是互相垂直,即AB⊥平面ECD,再者是两两条棱的距离应该尽量地远,即截面CDE的高最长。这样体积的最值只由三角形CDE的高决定,而高为三角形中线,高最长。因此问题转化为球体内两点EF之间的最长距离。因此EF最好位于直径上。类似地,凡是几何体的形状不固定,求最值时都需要对几何体进行适当地变形,定性地判断最值。

变式训练:三棱锥A-BCD中,,求该三棱锥的体积最大值?

解析:三棱锥的两个侧面BCDBCA大小固定,唯棱AD长不确定,当平面平面,棱锥的底面BCD上的高最长。

9. 利用极端化策略求最值

9.2009浙江卷理)如图,在长方形高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。中,高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的中点,高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为线段高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。(端点除外)上一动点.现将高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。沿高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。折起,使平面高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。平面高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.在平面高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。内过点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为垂足.设高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,则高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的取值范围是            

解析:对于F位于DC的中点时,高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,随着F点到C点时,因高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。平面高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,即有高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,对于高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,又高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,因此有高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,则有高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,因此高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的取值范围是 . 

点评:立体几何中的一些最值为往往和极端情形下取得,因此求最值或者求取值范围可以考虑图形的极端情况,并从图形的变化中研究变化趋势,最终肯定取值范围或最值的存在的合理性。

变式训练:已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 则第三条侧棱长取值范围  

解析 如图, 四面体ABCD,AB=BC=CA=1, DA=DC=, 只有棱DB的长x是可变的. 在三角形

ACD, MAC的中点,

 :

10.利用几何图形的性质求最值

102010江西卷理10)连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦的长度分别等于分别为的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:①弦可能相交于点         ②弦可能相交于点

的最大值为5                    的最小值为1

其中真命题的是           

 解析:②错误。易求得到球心的距离分别为32。假设两弦交于,则中,有,矛盾;类比平面内圆的情形可知当与球心共线时,分别取最大值5最小值1。所以,①③④正确,

  点评:在立体几何中根据几何体的特性不难探索发现到不少的最值的结论,如本题中就是利用了“球的直径是球中最长的弦”,这些性质可以借助类比平面几何的一些结论而获得,这样的试题考查的重点不在于结论的重要性,而在于空间观念的考查,所谓醉温之意不在酒。

变式训练:(2010辽宁理数)(15)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为____

解析:由三视图可知,此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示四棱锥学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,最长棱长为学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!

 

 

 

 

 


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